Реферат на тему "Русская логика"

(C) В.И.Лобанов,к.т.н.

РУССКАЯ ЛОГИКА.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Все,о чем далее будет идти речь(комплементарная логика,решение

логических уравнений,русская силлогистика,силлогистика Аристотеля-Жер-

гонна,общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известно

мировой науке.Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти-

ку,устраняет множество ненужных правил,законов,излишних терминов,упро-

щает до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов,процедуру реше-

ния логических уравнений.По существу произведена революция в логи-

ке,требующая в том числе коренной перестройки преподавания этой осно-

вополагающей дисциплины.Я обвиняю весь мир в логической безграмотнос-

ти,поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное крайне

критически и обязательно проверять с точки зрения здравого смысла и

математики.Мой доклад на 5-й Общероссийской конференции по логике[13]

не вызвал ни одного критического замечания,но и никакой реакции за ис-

текшее время не последовало.

Автор - инженер,разработчик бортовых и наземных цифровых систем

управления,поэтому вполне естественно стремление внедрить инженерные

методы в гуманитарную логику. Буду весьма признателен всем оппонентам

за конструктивную критику.

КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ

Наиболее важным разделом логики является силлогистика.Она является

фундаментом искусственного интеллекта(ИИ),построение которого станет

одной из главнейших задач 21 века.По уровню решения проблем ИИ судят о

научном потенциале страны.Россия в настоящее время утратила лидерство

в данной области.Решение проблем силлогистики,а значит и задач ИИ,

поднимет престиж русской науки.

Силлогизмом называется умозаключение,в котором из двух данных

суждений(посылок),связанных общим(средним) термином,получается

третье(вывод,или заключение).Общеизвестное высказывание "в огороде бу-

зина,а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствия

среднего термина.Народная мудрость очень точно и образно определила

самую суть силлогизма.

Гуманитарная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как

своим несоответствием Аристотелевой логике[1,3-6,9-15,18,21],так и

полным отсутствием математического(инженерного) аппарата для решения

задач силлогистики.Введение кванторов не устранило этих проблем(а нуж-

ны ли кванторы?).Поэтому предпринимались и предпринимаются попытки ре-

визии аристотелевой силлогистики.Особенно интересны и перспективны с

точки зрения решения задач анализа и синтеза силлогизмов работы русс-

ких логиков[6,9,18].

Консервативность,вопиющая и воинствующая безграмотность гумани-

тарной логики(яркий пример - позиция МГУ) породили антагонизм между

нею и инженерной логикой, успешно решающей практические задачи фор-

мального синтеза конечных автоматов.Очевидно скептицизм Льюиса Кэррола

по поводу "так называемых логиков" не утратит своей остроты и в 21 ве-

ке.Известный английский ученый(философ,логик,математик),автор осново-

полагающего труда по математической логике "Основания математики"

Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство мыслить" гово-

рил:"Не изучайте традиционную формальную логику.Во времена Аристотеля

это было великое достижение,каким была Птолемеева астрономия.Изучать

то или другое в наши дни - это смешной антиквариантизм".Архаизм гума-

нитарной логики проявляется не только в силлогистике,но и в логике

суждений:доказательство различных законов ведется не анлитически,а в

лучшем случае на основе таблиц истинности[7,8].Хотя все пространные

рассуждения при доказательстве указанных законов укладываются в од-

ну-две строчки аналитического текста.Произошло перерождение математи-

ческой логики в болтологику.Многие современные болтологики сдают Арис-

тотеля в исторический архив.Но прежде нужно решить проблемы Аристоте-

ля,а уж потом отправлять его в отставку.Поскольку до сих пор в гумани-

тарной силлогистике ничего не изменилось,попробуем ввести формальный

математический аппарат анализа и синтеза силлогизмов.

Для выражения любого умозаключения или посылки в логике здравого

смысла достаточно двух конструкций(в скобках представлена краткая фор-

ма записи суждений) :

1)Все X суть Y(Axy);

2)Некоторые X суть Y(Ixy);

Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения(сил-

логистических функтора):

1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор;

2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор;

3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор;

4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор.

В логике здравого смысла общеотрицательный функтор Exy может быть

заменен на общеутвердительный "Все Х суть не-Y",а Oxy является отрица-

нием для Ixy.

Из кругов Эйлера на основе методов минимизации логических функ-

ций[15] можно получить следующие соотношения:

Axy = (xy')' = x'+y

Exy = (xy)'= x'+y'

Здесь и далее апостроф означает отрицание.Физический смысл функ-

торов Аху и Еху ни у кого не вызывают сомнений.Что касается суждений

Ixy,Oxy,то здесь сложилась спорная ситуация.Здравый смысл и булева ал-

гебра утверждают,что Oxy = (Ixy)',а в традиционной логике[8]

Oxy =(Axy)' и Ixy = (Exy)',что отнюдь не бесспорно и не убедитель-

но.Кроме того частноотрицательное суждение вообще не имеет самостоя-

тельного смысла,поскольку является тривиальным отрицанием частноутвер-

дительного высказывания.

Попытаемся прояснить содержательный смысл функтора Ixy.Круги Эй-

лера не в состоянии отобразить все нюансы такого суждения.Поскольку

логические аргументы представляют из себя скаляры,максимальная длина

которых не может превышать "полной единицы"(универсума),т.е.

x+x'=1,введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйле-

ра.Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересече-

ния множеств X и Y,но и отмечает различные ситуации этого пересечения.

Для перехода от скалярных диаграмм к аналитическому представлению

функторов требуется введение алгебры общеразговорной логики.Общеразго-

ворная логика четырехзначна.Значения данной логики имеют следующий

смысл:0-нет,i-может быть,j-не может быть никогда,1-да.Такая вновь вве-

денная четырехзначная комплементарная логика адекватно отображает ло-

гику человеческого мышления и описывается следующими базовыми функция-

ми И,ИЛИ,НЕ:

ЪДДДДВДДДВДДДДДВДДДДДТДДДДВДДДВДДДДДВДДДДДї

і і _ і і є і _ і і і

і XY і X і X&Y і X+Y є XY і X і X&Y і X+Y і

і і і і є і і і і

ГДДДДЕДДДЕДДДДДЕДДДДДЧДДДДЕДДДЕДДДДДЕДДДДДґ

і 00 і 1 і 0 і 0 є i0 і j і 0 і i і

і 0j і 1 і 0 і j є ij і j і 0 і 1 і

і 0i і 1 і 0 і i є ii і j і i і i і

і 01 і 1 і 0 і 1 є i1 і j і i і 1 і

ГДДДДЕДДДЕДДДДДЕДДДДДЧДДДДЕДДДЕДДДДДЕДДДДДґ

і j0 і i і 0 і j є 10 і 0 і 0 і 1 і

і jj і i і j і j є 1j і 0 і j і 1 і

і ji і i і 0 і 1 є 1i і 0 і i і 1 і

і j1 і i і j і 1 є 11 і 0 і 1 і 1 і

АДДДДБДДДБДДДДДБДДДДДРДДДДБДДДБДДДДДБДДДДДЩ

На комплементарную логику распространяются все законы обычной

двоичной логики,в том числе формула де Моргана и закон двойного отри-

цания.Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от ми-

нимизации в двузначной логике[12].Весь аппарат комплементарной логики

был проверен на решении логических уравнений[14].

Используя алгоритм "Селигер"[14],можно получить полную систему

обратных функций для двоичной логики.В нижеприведенной таблице дана

полная система прямых функций двоичной логики.

ЪДДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДї

і xy і z0і z1і z2і z3і z4і z5і z6і z7і z8і z9іz10іz11іz12іz13іz14іz15і

ГДДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ

і 00 і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 і 1 і 1 і 1 і 1 і 1 і 1 і 1 і 1 і

і 01 і 0 і 0 і 0 і 0 і 1 і 1 і 1 і 1 і 0 і 0 і 0 і 0 і 1 і 1 і 1 і 1 і

і 10 і 0 і 0 і 1 і 1 і 0 і 0 і 1 і 1 і 0 і 0 і 1 і 1 і 0 і 0 і 1 і 1 і

і 11 і 0 і 1 і 0 і 1 і 0 і 1 і 0 і 1 і 0 і 1 і 0 і 1 і 0 і 1 і 0 і 1 і

АДДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДЩ

Перестановкой столбцов y и z построим таблицы истинности для пол-

ной системы обратных функций.

ЪДДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДВДДДї

і xz і y0і y1і y2і y3і y4і y5і y6і y7і y8і y9іy10іy11іy12іy13іy14іy15і

ГДДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДЕДДДґ

і 00 і i і i і i і i і 0 і 0 і 0 і 0 і 1 і 1 і 1 і 1 і j і j і j і j і

і 01 і j і j і j і j і 1 і 1 і 1 і 1 і 0 і 0 і 0 і 0 і i і i і i і i і

і 10 і i і 0 і 1 і j і i і 0 і 1 і j і i і 0 і 1 і j і i і 0 і 1 і j і

і 11 і j і 1 і 0 і i і j і 1 і 0 і i і j і 1 і 0 і i і j і 1 і 0 і i і

АДДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДБДДДЩ

Откуда получаем полную симметричную систему обратных

функций :

y0 = iz'+jz

y1 = xz+ix'z'+jx'z - логическое деление

y2 = xz'+ix'z'+jx'z

y3 = i(xz+x'z')+j(xz'+x'z)

y4 = x'z+ixz'+jxz

y5 = z

y6 = xz'+x'z

y7 = x'z+ixz+jxz' - логическое вычитание

y8 = x'z'+ixz'+jxz

y9 = xz+x'z'

y10 = z'

y11 = x'z'+ixz+jxz'

y12 = i(xz'+x'z)+j(xz+x'z')

y13 = xz+ix'z+jx'z'

y14 = xz'+ix'z+jx'z'

y15 = iz+jz'

Базис силлогистики

Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты

представления суждений Axy,Exy,Ixy.Суждение Oxy получается автомати-

чески из Ixy,поскольку является его отрицанием.

Все x суть y(Axy).

1.Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр-

ной диаграмме,по которой заполнена таблица истинности.

ЪДДДДВДДДї

і xy іAxyі

x x' ГДДДДЕДДДґ

===========---------- і 00 і 1 і

y y' і 01 і 1 і

==============------- і 10 і 0 і

і 11 і 1 і

АДДДДБДДДЩ

По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy:

Axy = (xy')' = x'+y

(Axy)' = xy'

Кстати,впервые аналитическое представление для Аху вывел на базе

рекурсии великий русский логик П.С.Порецкий при решении логических

уравнений[17],но никто из болтологиков не заметил этого научного дос-

тижения.На основе полученного соотношения можно обратиться к уточнению

смысла импликации.Дело в том,что x->y = x'+y = Axy.Но отсюда следу-

ет,что,если х - истинно,то у - также истинно,поскольку "Все х суть у".

2.Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации.Вто-

рая комбинация аргументов x,y изображена на диаграмме.

x' x ЪДДДДВДДДї

----------=========== і xy іAxyі

y' y ГДДДДЕДДДґ

a)-----================ і 00 і i і

y і 01 і 1 і

b)===================== і 10 і 0 і

і 11 і 1 і

АДДДДБДДДЩ

Ситуация b,представленная на рисунке,может быть проиллюстрирована

следующим высказыванием:"Все люди(x) смертны(y)".Это справедливо при

условии,что "мир"(универсум)-все живые существа,т.к.все живое-смертно.

С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет вид:

Axy = y+ix'y'

(Axy)' = xy'+jx'y'

3.Третий вариант суждения Axy изображен на нижеприведенных ска-

лярных диаграммах.По сравнению со вторым вариантом здесь добавлено

суждение "x эквивалентно y".

x' x ЪДДДДВДДДї

----------=========== і xy іAxyі

y' y ГДДДДЕДДДґ

a)-----================ і 00 і i і

y і 01 і i і

b)===================== і 10 і 0 і

y' y і 11 і 1 і

c)----------=========== АДДДДБДДДЩ

Для ситуации "c" справедливо высказывание "Все люди(x) владеют

словом(y)".Если весь "мир" - живые существа,то понятия "люди" и "гово-

рящие живые существа" эквивалентны.Из таблицы получаем следующее соот-

ношение:

Axy = xy+ix'

(Axy)' = xy'+jx'

4.Этот вариант соответствует базису Аристотеля[19].

x ===========---------- ЪДДДДВДДДДДДї

y1==============------- і xy і Axy і

y2===========---------- ГДДДДЕДДДДДДґ

і 00 і 1 і

і 01 і i і

і 10 і 0 і

і 11 і 1 і

АДДДДБДДДДДДЩ

Axy = xy+x'y'+ix'y

(Axy)' = xy'+jx'y

Эти четыре варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций,но в

силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргумен-

тов не являются решающими.

Ни один x не есть y(Exy).

1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах.

ЪДДДДВДДДї

x x' і xy іExyі

===========---------- ГДДДДЕДДДґ

y' y і 00 і 1 і

-------------======== і 01 і 1 і

і 10 і 1 і

і 11 і 0 і

АДДДДБДДДЩ

Exy = (xy)'

(Exy)' = xy

Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел русский

ученый П.С.Порецкий[17] при решении логических уравнений.Однако ни сам

автор,ни его коллеги не заметили этого достижения и не нашли ему прак-

тического применения.

2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.

ЪДДДДВДДДї

x' x і xy іExyі

----------=========== ГДДДДЕДДДґ

y y' і 00 і i і

a)======--------------- і 01 і 1 і

y y' і 10 і 1 і

b)==========----------- і 11 і 0 і

АДДДДБДДДЩ

Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живой

не есть мертвый".

Из таблицы истинности имеем:

Exy = x'y+xy'+ix'y'

(Exy)' = xy+jx'y'

3.Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах.

x' x ЪДДДДВДДДї

----------=========== і xy іExyі

y y' ГДДДДЕДДДґ

a)======--------------- і 00 і i і

y y' і 01 і i і

b)===========---------- і 10 і 1 і

y' і 11 і 0 і

c)--------------------- АДДДДБДДДЩ

Высказывание "Ни один человек(x) не бессмертен(y)" иллюстрирует ситуа-

цию на диаграмме "c".Здесь "мир"-живые существа,а бессмертных существ

не бывает.

Из таблицы выводим соотношение:

Exy = xy'+ix'

(Exy)' = xy+jx'

Некоторые x суть y.

Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию".По образу и по-

добию великого русского геометра не менее великий русский логик Ва-

сильев Н.А. разработал "воображаемую логику".Мы попробуем разобраться

хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике,тем более что частному суж-

дению Ixy уделено недостаточное внимание.

1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

x x' ЪДДДДВДДДї

================----- і xy іIxyі

y y' ГДДДДЕДДДґ

a)==============------- і 00 і 1 і

y y' і 01 і i і

b)==================--- і 10 і i і

y' y y' і 11 і 1 і

c)--------==========--- АДДДДБДДДЩ

Из таблицы истинности получим соотношение:

Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y)

(Ixy)' = j(xy'+x'y)

2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

ЪДДДДВДДДї

x' x і xy іIxyі

----------=========== ГДДДДЕДДДґ

y' y y' і 00 і i і

a)-----==========------ і 01 і 1 і

y y' і 10 і 1 і

b)==============------- і 11 і 1 і

АДДДДБДДДЩ

Первой ситуации соответствует,например,такое суждение:"Некоторые

молодые люди(x) - студенты(y)".Здесь универсум - люди.

Для иллюстрации второй ситуации подходит такой пример:"Некоторые

млекопитающие(x) суть немые(y)".Универсум - существа.Если в первом

случае студенты и молодые люди еще не составляют универсума,то во вто-

ром - млекопитающие и неговорящие существа дополняют друг друга до

универсума.Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+y+ix'y'

(Ixy)' = jx'y'

Этот базис назван автором русским базисом.Он абсолютно согласует-

ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление.

3.Третий вариант суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба-

зису[19].B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комби-

нация понятий x,y,лишь бы пересечение этих понятий не было пус-

тым.Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют приводимые

ниже скалярные диаграммы.

x' x

----------=========== ЪДДДДВДДДї

y y' і xy іIxyі

a)==============------- ГДДДДЕДДДґ

y' y y' і 00 і i і

b)-----==========------ і 01 і i і

y' y і 10 і i і

c)-----================ і 11 і 1 і

y' y АДДДДБДДДЩ

d)-------------========

Ixy = xy+i(x'+y')

(Ixy)' = j(x'+y')

4.Рассмотрим четветый вариант суждения Ixy.Этот базис получил

название несимметричного.

x' x ЪДДДДВДДДї

----------=========== і xy іIxyі

y' y ГДДДДЕДДДґ

a)-------------======== і 00 і 1 і

y' y y' і 01 і i і

b)-----==========------ і 10 і 1 і

і 11 і 1 і

АДДДДБДДДЩ

Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые

юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические

вузы не выпускают).Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+y'+ix'y

(Ixy)' = jx'y

5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

x' x ЪДДДДВДДДї

----------=========== і xy іIxyі

y' y ГДДДДЕДДДґ

a)-------------======== і 00 і i і

y' y y' і 01 і i і

b)-----==========------ і 10 і 1 і

y y' і 11 і 1 і

c)==============------- АДДДДБДДДЩ

Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые

люди(x) суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари-

вают).Универсум - "живые существа".

Из таблицы истинности получим соотношение:

Ixy = x+ix'

(Ixy)' = jx'

6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.

ЪДДДДВДДДї

і xy іIxyі

x' x ГДДДДЕДДДґ

----------=========== і 00 і 0 і

y y' і 01 і 1 і

==============------- і 10 і 1 і

і 11 і 1 і

АДДДДБДДДЩ

Ixy = x+y

(Ixy)' = x'y'

7.Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:

x =======-------- ЪДДДДВДДДї

y1----=====------ і xy іIxyі

y2=========------ ГДДДДЕДДДґ

y3---============ і 00 і i і

і 01 і 1 і

Ixy = y+iy' і 10 і i і

Oxy = jy' і 11 і 1 і

АДДДДБДДДЩ

Здесь приведены не все возможные варианты представления силлогис-

тических функторов Ixy.Желающие могут продолжить этот список.

В работе Васильева Н.А.